FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI

A. FAKTORIAL 

Dalam Matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial.

Jika n bilangan asli maka n faktorial (n!) dapat didefinisikan n!= n x (n-1) x (n-2) x .... x 3 x 2 x 1.

Dengan penalaran yang sama, n! = 1x2x3x....n x (n-1) x (n-2).

Berikut adalah faktorial 0 sampai faktorial 4

0! = 1

1! = 1

2! = 1x2 = 2

3! = 1x2x3 = 6 

4! = 1x2x3x4 = 24

Penulisan faktorial dapat dipersingkat : 

5! = 5x4x3x2x1 = 5 x 4! = 120

6! = 6x5! = 720 

n! = n x (n-1)!

Faktorial biasanya digunkan untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpa memperhatikan urutannya. 

Contoh :

1. Tentukan nilai dari 

        a. 6! + 5!

        b. 3! x 5!

        c. 8! : 6! 

    Penyelesaian : 

        a. 6! + 5! = (6x5x4x3x2x1) + (5x4x3x2x1) = 720 + 120 = 840

        b. 3! x 5! = (3x2x1) x (5x4x3x2x1) = 6 x 120 = 720

        c. 8! : 6! = (8x7x6!) : (6!) = 8x7 = 56

2. Diketahui n! = 6n(n-3)!. Tentukan nilai n yang mememnuhi persamaan tersebut!

    Penyelesaian : 

    n! = 6n(n-3)!

    n(n-1)(n-2)(n-3)! = 6n(n-3)!

    (n-1)(n-2) = 6 

    n^2 - 3n + 2 = 6

    n^2 - 3n - 4 = 0

    (n-4) (n+1) = 0

    n = 4 atau n = -1

    Jadi, nilai n yang memenuhi persamaan adalah n=4 karena untuk notasi faktorial disyaratkan n bilangan asli.

B. PERMUTASI 

Permutasi adalah proses pencacahan yang memperihatkan urutan atau formasi. Sebagai contoh diketahui himpunan P ={a,b,c,d}. Jika anggota himpunan P tersebut disusun dua-dua maka diperoleh himpunan yang anggotanya sebanyak 12 buah, yakni {ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc}. Permutasi memiliki beberapa jenis, yaitu : 

1. Permutasi dengan Unsur Berbeda

Banyak permutasi dari k unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan : 

Contoh soal :

Kelas XII A akan mengadakan pemilihan ketua kelas, wakil ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Jumlah siswa seluruhnya adalah 40 orang. Jika yang mengikut pemilihan hanya 1/5 dari jumlah siswa, berapa banyak susunan kepemimpinan kelas tersebut?

Penyelesaian :

1/5 x 40 = 8

8P4 = 8! / (8-4)! = 8! / 4! = 8x7x6x5 = 1.680

Jadi, susunan kepemimpinan kelas tersebut sebanyak 1.680

 

2. Permutasi dengan unsur-unsur yang sama

Jika diantara objek yang disusun ada objek-objek yang sama, maka banyaknya formasi susunan dapat ditentukan dengan aturan :

 

Contoh soal :

Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata YOGYAKARTA?

Penyelesaian :

Banyaknya semua huruf = 10

Banyaknya huruf Y = 2

Banyaknya huruf A = 3

Banyaknya huruf O = 1

Banyaknya huruf G = 1

Banyaknya huruf K = 1

Banyaknya huruf R = 1

Banyaknya huruf T = 1

Karena huruf yang sama hanya A dan Y maka :

P = 10! / 2!3! = 10x9x8x7x6x5x4x3! / 2x13! = 10x9x8x7x6x5x4 / 2 = 302.400

 

3. Permutasi siklis (melingkar)

Permutasi siklis adalah permutasi yang anggota-anggotanya disusun secara melingkar. Banyaknya susunan yang mungkin dari n unsur yang disusun melingkar dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

Contoh soal :

Pada rapat OSIS dihadiri 8 orang yang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyaknya susunan berbeda cara mereka duduk?

Penyelesain :

P = (8-1)! = 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5.040

 

C. KOMBINASI

Kombinasi adalah suatu kumpulan unsur tanpa memperhatikan urutannya. Dari suatu himpunan dengan n anggota dapat dibentuk himpunan bagian dengan k unsur (k < n). Setiap himpunan bagian yang terbentuk meprukan kombinasi k unsur dari n unsur. Banyak kombinasi k unsur dari n unsur sering dinotasikan dengan lambang nCk.

Untuk menghitung banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia digunakan rumus :

 

Contoh soal :

Tim karate Asean Games Indonesia kelas 60kg akan memilih 3 orang dari 10 orang yang memenuhi syarat. Tentukan banyak cara memilih ketiga pemain terebut!

Penyelesaian :

Dari soal diketahui bahwa ada 10 atlet karate (n=10)

Akan dipilih 3 orang atlet (k=3) untuk enjadi anggota tim

NCk = 10C3 = 10! / (10-3)! 3! = 10! / 7!3! = 10x9x8x7! / 3x2x1x 7! =120 cara

Jadi, banyaknya cara memilih anggota tim karate Asean Games Indonesia adalah 120 cara. 

Itulah pengertian, rumus dan contoh soal terkait faktorial, permutasi dan kombinasi. Semoga bermanfaat :)

Sumber :

1. Modul Pengayaan Matematika Kelas XII Semester 2. Irvan Dedy. Penerbit CV. Arya Duta

2. idSchool.net- Pengertian/Perbedaan permutasi dan kombinasi.